| 数学教学中的实验操作与实践活动
（应征参赛稿件）
高卫东 钟淼 胡文汉
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摘要：从激发兴趣、丰富想象、启发思维、培养品质等几个方面阐述了实验操作与实践活动在数学教学中的作用。
关键词：“数学实验”；数学教学；实验操作；实践活动
江泽民在《关于教育问题的谈话》中说：“不能整天把青少年禁锢在书本上和屋子里，要让他们参加一些社会实践，打开他们的视野，增长他们的社会经验”。数学知识是具体事物的抽象概括，是人类在长期实践中的总结归纳，只有结合实际，才能透彻理解。随着素质教育的全面推进和不断深入，实验教学对中小学理科教学越来越重要，在数学教学中也应该注重实践活动和实际操作训练。对传统教学模式来说，将实验与数学学科相连似乎是牵强附会。然而从广义上讲，数学教学中教具的使用和模型的演示也是在实验，只是形式单调，内容简略。本文所谈的“数学实验”就是在此基础上的加强与深入，强化操作而形式多样化，深入实践且范围扩展开，促使每个学生勤于动手，善于观察。简言之，“数学实验”就是数学教学中的实验操作与实践活动。“数学实验”是应从教学改革之所需，是新课程标准下数学教学的重要内容，是素质教育的具体体现。
1．改进方法，激发兴趣，废除灌输式，发挥主体性。
枯燥乏味的理论知识光靠教师的说教，难以激起学生的兴趣，教学难点不便突破。习惯性的说教往往导致教师“唱独角戏”，学生的主体性被忽略，从而演变成灌输式教学方法。“数学实验”是改进数学教学方法的一种有效手段，能促使每个学生积极参与，发挥主体性，无论基础优劣，在不同程度上都学有所获。
笔者在“正弦函数图象”教学中，向学生演示了自己设计制作的正弦曲线规。当曲线规被按在黑板上一拉，一条标准、严格的正弦函数图象描绘出来时，学生感到十分惊奇，轨迹是如何产生的？画圆、椭圆的装置学生一眼就明白其机理，而正弦曲线规的工作原理相对复杂一些，由于学生的好奇心，很想弄明白其中的机关奥秘。教师因势利导，让学生仔细观察装置的结构，分析各部件之间的运动关系，然后指导学生推导粉笔的轨迹方程满足正弦函数关系式。当看到其上一支粉笔头一上一下的运动时，学生似乎恍然大悟。其实，“正弦曲线规”工作的基本原理就是“沿直线滚动的圆盘（圆周）上一点在与滚动方向垂直的直径上投影的轨迹是正弦曲线”，粉笔就相当于这个投影，教具“正弦曲线规”就是将这种运动转化为实物装置。在此对其作以简要分析证明，建立如图1所示的直角坐标系。半径为1的圆盘从S滚到S1时，圆心从O前进到O1，其距离与圆盘上一点M相对于圆心划过的一段弧⌒AB的弧长相等，即在直径S1T1上投影点P（x,y）的横坐标x。圆心角∠A O1B的弧度数即⌒AB弧长x， y= O1Bsin∠PBO1= O1Bsin∠A O1B=sinx.即，P点的坐标（x,y）的关系式为：y=sinx.图是静止的，教具可以连续运动，并将运动过程中的每一个细节展现得淋漓尽致。如果尚未观察实物教具的动作过程，对这些分析步骤的理解还是有一定难度的。看起来似乎是对教具的“小题大作”，实际上教具也许蕴涵着丰富、甚至深奥的知识理论，尤其是针对某一知识点特别设计的教具。通过类似这种形式，不仅使学生产生浓厚兴趣，巩固所学的知识，而且有时对比较难理解的知识，觉得好象跟做游戏一样，在不知不觉中消化。
老一套的教学方法就是“君子动口不动手”, 这种灌输式仍在继续沿袭下去。灌输式教学对于基础好悟性强的学生可以接受，成绩逐步提高，而对于基础差者如听“天书”，毫无所获。数学知识系统性强，各个环节密切相关，前面没弄通，后面更不懂，学习成绩将越来越差。这是导致数学成绩两极分化的主要原因之一。补课之举固然是补救之措，集体补课也只能顾全大局，对基础好的来说是浪费时间，对基础差者无济于事。“一楼未建而去修补二楼”何以能补？即便是从最基础补起，在方式上无突破性改进也是“重蹈覆辙”等于白补。许多人感到学数学枯燥无味，难学难懂，甚至是一种“痛苦”。与其他各科相比，数学更加抽象，数学教学更要注重激发学生的学习兴趣。利用“数学实验”把知识的掌握从死记硬背和题海战术中“解脱”出来，转化为轻松愉快地学习，使学生感受到学数学的乐趣。学生对课堂上的教具演示是具有浓厚兴趣的，如果教师在使用教具的过程中不很好地把握，只是轻描淡写，也不会有好的效果。学生还没有明白其中的道理，本想再观察，教师却把教具撤走，同时也带走了学生的兴趣。
另外，通过大量的事实使学生认识到数学在我国现代化建设中的重要作用。用近年来的辉煌成就无形地激起学生的爱国热情，激励他们为祖国的更加繁荣而勤奋学习。如导弹的成功试验，人造卫星的成功发射与接收都离不开数学。特别是“神州五号”飞船载人航天的成功使学生兴奋不已，激发学生下定决心, 坚强信心学好数学。有些工作虽然与数学无直接联系, 但通过数学思维的训练, 能使人们掌握科学的思想和工作方法，少走弯路，提高效率
2．积累经验，丰富想象，构造数学模型，超越思维定势。
在教育信息化高速发展的今天，以计算机技术为核心的多媒体技术在教学中得到了广泛应用。不可否认，在多媒体课件中利用动画、视频、图片等，代替实物观察和现场参观，确实能起到事半功倍的作用。相比之下，包括实验操作和实践活动的实验教学似乎显得相形见拙，但计算机以及多媒体并不是万能的。它所展示的画面虽然可以以假乱真，“有声有色”，但它毕竟是在屏幕上的虚幻之影。“实验教学”提供真实之物，现实场景，立体模型，还能感受触觉、嗅觉、味觉等，这都是多媒体所不能替代的。
观看现场直播与现场观看还是有一定区别的，至少看电视与置身现场在氛围与气势上大不一样。摄像师就有体会，实景与寻像器里的图像在感觉上有明显区别。孩子面对高大建筑物的录像或图片展示，并不会感到 “哇，好高啊！”的惊讶。三峡大坝最终建成什么样？多长多高？用准确的数字表述最能说明问题。但是，对大数据的概念性不强的小学低年级学生来说不能想象出确切的形象，而从电视上也感受不到那种雄伟高大的气势。大坝建成后带学生身临其境地参观当然体会最深。在没有亲临目睹的情况下，如果描述为“是本校教学楼的几个高，几个长”，用学生生活实践中熟悉的建筑物来作“单位”或比较，大数小化，数据实化，想象中三峡大坝的形象会明确些。实践经验还能为学生储备丰富的感性材料，面对具体的数学问题就容易想象出准确的模型，有助于分析和解决问题。
高中数学教材已将“圆的摆线”删除，但有关圆滚动的问题经常出现在平面解析几何习题中。当圆盘在地面上滚动前进时，圆周上的一点相对圆心作圆周运动，相对地面的运动轨迹如何？多数学生想象错误，认为是如图2所示的轨迹，有“回绕”现象。对此，我们让学生亲手试验，在圆盘边沿固定粉笔，使圆盘紧贴黑板滚动，粉笔在黑板上划过的痕迹就是正确答案，并无“回绕”现象。这样，纠正了学生长期以来对此轨迹的错误印象。
一个有趣的小故事。笔者在“指数方程”教学时，出了一个应用题让学生思考和讨论：在一次募捐活动中，从第1天开始，募捐人数日翻一番，第5天2万人，第几天是1万人？许多成绩突出的学生埋头列方程求解。设第1天是k人，第x天的人数是y，则y=2x-1k。根据第5天是2万人，将x=5,y=2代入此式得：k=2-3，于是得到天数与人数的函数关系式：y=2x-4。第几天是1万的问题即是当“y=1时x=?”的问题，求解方程“2x-4=1”即得x=4。这是一种正确的方法，完成这些解答步骤，对相关基本知识比较熟悉的学生来说也要费时不少，更何况基础差的学生。然而，未等“数学尖子”解几步，答案却让一个平时成绩很差的学生先得出。他的思路是：由“日翻一番”知，第5天的人数是第4天的2倍，反过来，第4天的是第5天的一半，即第4天1万人，完全正确。进一步，用5张卡片代表第1至5天，先在第5张卡片上填20000，按减半的规律依此填上其它各卡片的人数，很快排出每天的人数，与用指数方程求得的结果一致。如果不是为了在“指数方程”教学中的应用举例，不能不说上述列方程解答是一种思维定势的倾向。教学中不要把学生教成“书呆子”，要多实践，常“跳出”纯理论圈子，从多方面灵活全面地思考问题，尽量避免形成思维定势。
3．启发思维，突破难点，理解抽象概念，辨别内在关系。
学生往往把异面直线与“在不同平面的两条直线”混淆，对异面直线的距离的概念也不易掌握。数学概念的严密性极强，在叙述上一字之差或字词顺序稍有不同，就会导致截然不同的结果。对难以理解的数学定义、抽象概念反复讲解，某些学生做题时总是出错。错了又讲，讲了还错，越讲学生越糊涂，最终还是不明不白。时间长了也许会慢慢理解，有何效益之谈？数学概念的形式可以千变万化，如果没有理解其根本和实质，形式的每一种变化都会给学生带来新的思维障碍，这样去面对作业，将有大量习题成为“难题”，无疑加重了课业负担。有些内容如果辅以实物形象直观地展现出来，学生也许会茅塞顿开。以不同形式，从不同角度仔细观察。由此及彼由表及里，从感性到理性看到根本看到实质。有了充分理解，“难题”自然化难为易，学生就会感到轻松多了。例如，先不要急于陈述“什么是三角形全等”，而让学生摆弄（重叠）几个形状、大小完全相同的三角形，自己总结归纳。再如：证明“弦切角等于它所夹的弧上的圆周角”之前, 让学生摆弄圆形纸板和几根细直木棒，不难发现，垂直于切线的直径是有利的辅助线。立体几何中“实验”的效果十分明显，对平面几何来说，虽然摆弄实物与在纸上画图没什么本质区别，但实物变化灵活方便，容易发现合适的辅助线。
4．锤炼品质，磨练意志，实行研究性学习，培养创造性能力。
作为从椭圆知识到双曲线教学的过度，把条件“到两定点的距离之和等于定值”改为“到两定点的距离之差等于定值”，让学生自己动手设计一种装置，描绘出符合条件的点的轨迹，并推出轨迹方程。由已有的知识自然过度到新知识，学生感到这种新知识好象是一个推论而容易接受。试想，新知识让学生自己给推导出来了，还有什么难学的呢？通过亲身实践探得的知识理解得透，掌握得牢。
当然，能使学生感到好奇的知识点可以“开门见山”，吸引学生探其究竟。我们在“球的体积”教学中，曾让学生先不看教科书，自己设计辅助形体，利用祖暅原理推导半球的体积公式，结果无一成功，这的确有点勉为其难。当把一批相关的成品几何模型摆在学生面前时，许多学生一眼就选中了挖去圆堆的圆柱作为辅助体进行尝试而获得成功。这是因为预制好的辅助形体具有很强的提示作用，而在数学史上想必古代数学家祖暅推导此公式并不那么容易吧。适当让学生象数学家那样通过“试验”探索知识，推证公式和定理，并不是走历史的老路。其目的是让学生尝试成功与失败，体验艰辛与挫折。在教师的启发和引导下进行，不会也没有必要跟历史的探索过程那样辛苦和复杂。学习书本知识是获取知识的捷径，通过“试验”探索知识是为了更好地理解书本知识。在一番艰苦的“试验”过后悟出了知识会感到无比欣慰，并对所悟出的知识刻骨铭心，真正达到透彻理解。另外，以“挫折教育”对学生进行意志磨练，从中体会到人类探索知识的艰难曲折性，使他们能以正确的态度面对挫折与失败，化挫折与失败为动力，从而锤炼其学习品质。
江泽民同志在第三次全教会上强调：“要以提高国民素质为根本宗旨，以培养学生的创新精神和实践能力为重点。”“数学实验”是培养学生创新能力的一个重要途径。通过“实验”训练学生灵活运用数学知识分析和解决实际问题，培养了学生的实践能力。让学生根据数学原理设计制作模型和教具，锻练了操作能力。在数学教学中要注重实践活动，强化动手操作，不要把学生的思维长期“禁锢”在书本上，要向广阔的大自然扩展。通过多种能力培养，把学生造就成适应社会发展的强能力人才；加强各种素质训练，使学生成为21世纪高素质人才。
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